斐波那契数列

斐波那契数列

斐波那契数列（Fibonacci sequence）是以意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）命名的数列，其特点是每一项等于前两项之和。数列的递推公式为：

前几项为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

1. 斐波那契的贡献
   斐波那契在1202年的著作《计算之书》中提出“兔子繁殖问题”，假设理想条件下兔子的增长规律，从而推导出这一数列。

2. 更早的发现
   印度数学家早在6世纪就已描述过类似序列，但斐波那契将其引入西方数学体系。

斐波那契数列的通项可通过黄金比例 $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 表示：

当 $n$ 较大时，$F(n) \approx \frac{\phi^n}{\sqrt{5}}$。

1. 与黄金比例的关系
   相邻两项的比值趋近于黄金比例 $\phi$：

   $$\lim_{n \to \infty} \frac{F(n+1)}{F(n)} = \phi \approx 1.618$$

2. 组合恒等式
   如：$F(n+1)^2 - F(n)F(n+2) = (-1)^n$（卡西尼恒等式）。

3. 矩阵表示
   可用矩阵乘法生成数列：$\begin{pmatrix} F(n+1) & F(n) \\ F(n) & F(n-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n$。

1. 自然科学

   • 生物学：树叶排列、花瓣数目（如向日葵的螺旋数常为斐波那契数）。

   • 物理学：量子力学中的能级结构。

2. 计算机科学

   • 算法设计（如动态规划、递归优化）。

3. 金融学

   • 股票价格波动分析（斐波那契回调线）。

1. 卢卡斯数列
   类似斐波那契数列，但初始项为 $L(0)=2, L(1)=1$。

2. 广义斐波那契数列
   允许初始项和递推系数变化，如 $G(n) = p \cdot G(n-1) + q \cdot G(n-2)$。

• 艺术与建筑：黄金分割比例在绘画、雕塑（如《蒙娜丽莎》）和建筑（帕特农神庙）中的应用。

• 流行文化：出现在《达·芬奇密码》等文学影视作品中。

• 素数分布：斐波那契数列中是否存在无限多个素数（未完全解决）。

• 模周期（皮萨诺周期）：研究 $F(n) \mod m$ 的周期性。